2020-05-05    可換環    加群    定義    体  

可換環上の加群

\(A\)を単位元\(1_A\)を持つ可換環とする。

\(X\)を加法群とする。

\(X\)のスカラー倍\((a, x) \mapsto ax\)と呼ばれる写像\(A \times X \to X\)が定義されているものとする。

\(X\)の任意の元\(x,y\)と可換環\(A\)の任意の元\(a,b\)に対して、以下が成り立つとき、\(X\)を\(A\)上の加群という。

\[ \left\{ \begin{array}{rll} a(x + y) &= ax + ay & \text{分配則}\\ (a + b)x &= ax + bx & \text{分配則}\\ (ab)x &= a(bx) & \text{結合則} \\ 1_Ax &= x & \text{積の単位元} \\ \end{array} \right. \]

• 特に可換環\(A\)が体であるとき、\(X\)を\(A\)上のベクトル空間という。

参考

• 代数系入門（p.199）

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• 可換環上の加群 | 結城浩のPDF

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