2019-06-23 問題 群 二項演算 分配法則
ある群\((G,*)\)が以下の性質を持つという。\(G\)はどのような群か。
性質「\(G\)の任意の元\(a,b,c\)に対して\((a*b)*c=(a*c)*(b*c)\)が成り立つ」
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\(G\)は単位群（単位元のみを要素として持つ群）である。
\(G\)の単位元を\(e\)とする。
与えられた性質\((a * b) * c = (a * c) * (b * c)\)で、\(a = b = e\)と置くと、 \[ (e * e) * c = (e * c) * (e * c) \] すなわち、\(c = c * c\)となる。両辺に\(c\)の逆元\(c^{-1}\)を掛けて、\(c = e\)であることがわかる。
\(c\)は\(G\)の任意の元なので、\(G\)は要素として単位元\(e\)しか持たないことになる。
この問題は以下のツイートで教えていただきました。
2019-06-23 問題 群 二項演算 分配法則
結城浩の数学ノート