$ \newcommand{\LEQ}{\leqq} $

 2018-05-15    問題    論理    整数    ならば    述語  

 任意の非負整数$m$について……

問題

\(P\)は非負整数に関する述語とします。

任意の非負整数\(m\)について、

\(n < m\)を満たすすべての非負整数\(n\)について\(P(n)\)が成り立つならば、\(P(m)\)が成り立つ」

と仮定します。

このとき「任意の非負整数\(n\)について\(P(n)\)が成り立つ」といえますか。

解答表示

解答

いえます。

解説

この問題のポイントは\(P(0)\)が成り立つかどうかです。 結論から言えば\(P(0)\)は成り立ちます。

\(P(0)\)が成り立つといえるのはなぜか、順序立てて解説します。

読みやすくするため、

\(n < m\)を満たすすべての非負整数\(n\)について\(P(n)\)が成り立つ」

\(Q(m)\)とおきます。

この問題では、任意の非負整数\(m\)について「\(Q(m)\)ならば、\(P(m)\)が成り立つ」を仮定しています。この仮定から、\(Q(0)\)が成り立つならば、\(P(0)\)も成り立つといえますね。

では、\(Q(0)\)を調べましょう。

\(Q(0)\)は、

\(n < 0\)を満たすすべての非負整数\(n\)について\(P(n)\)が成り立つ」

です。ですから、\(Q(0)\)は次のように言い換えられます。

「どんな非負整数\(n\)についても『\(n < 0\)ならば\(P(n)\)』である」

どんな非負整数\(n\)についても\(n < 0\)は偽なので『\(n < 0\)ならば\(P(n)\)』は真です。

よって、\(Q(0)\)は成り立ちます。

以上により、\(P(0)\)は成り立つことがわかりました。

関連ツイート

この問題は想像以上に正答率が低かった問題です。結城がTwitterで出題したところ、回答者が1131人で、正答率は30%に留まりました。


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