任意の実数$x$について……

解答

同じ意味です。

解説

• ウ「すべての実数\(x\)について、\(x-1 < 0\)である」
• エ「任意の実数\(x\)について、\(x-1 < 0\)である」

実数全体の集合を\(\REAL\)とすると、ウとエはどちらも、 \[ \forall x \in \REAL\, [ x - 1 < 0 ] \] を表しています。ウとエはどちらも偽です。

「すべての実数\(x\)について」という表現を「実数全体の集合\(x\)」と読みたくなる人がいるかもしれませんが、通常は「すべての実数\(x\)について」は「任意の実数\(x\)について」と解釈します。 たとえば、東大理系2012年入試前期問6は「すべての実数\(t\)に対し〔\(t\)の不等式〕が成り立つことを示せ」という問題文です。

個人的には「任意の実数\(x\)について\(P(x)\)」や「すべての実数\(x\)について\(P(x)\)」よりは「どんな実数\(x\)に対しても\(P(x)\)」の方がちょっと好きですが、それは私の細かい好みであって数学的主張にはまったく違いはありません。

『論理と集合から始める数学の基礎』（嘉田勝）は、「すべて」や「ある」などを含む論理のお話をちゃんと学び始めるのにいい本です。

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