$ \newcommand{\ZEE}{{\mathbb Z}} $

 2018-05-13    問題    用語    論理    存在    ある  

 ある整数$m$に対して……

問題

$P(n)$は整数$n$に関する条件とします。アとイは数学的に同じ意味ですか。

解答表示

解答

同じ意味です。

解説

整数全体の集合を$\ZEE$で表すと、

  • ア「ある整数$m$に対して、$P(m)$が成り立ちます」
  • イ「$P(m)$が成り立つような整数$m$が存在します」

はいずれも、 $$ \exists m \in \ZEE\, [ P(m) ] $$ を表しています。

たとえば、$P(n)$を「$n \times n=4$」という条件としましょう。このとき、以下の二つは同じ意味です(どちらも真になります)。

  • 「ある整数$m$に対して、$m \times m=4$が成り立ちます」
  • $m \times m=4$が成り立つような整数$m$が存在します」

たとえば、$P(n)$を「$n \times n=2$」という条件としましょう。このとき、以下の二つは同じ意味です(どちらも偽になります)。

  • 「ある整数$m$に対して、$m \times m=2$が成り立ちます」
  • $m \times m=2$が成り立つような整数$m$が存在します」

参考

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