2018-05-08    動作テスト  

結城浩の数学ノート(動作テスト用記事)

この記事は動作テスト用です。

結城浩の数学ノート

2018年5月8日、 ふと思い立って「結城浩の数学ノート」というサイトを作り始めました。

数式混じりの文章テスト

数学の問題で$x$に関する二次方程式といわれたときに、 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ という式が提示されていたら、通常は$a \neq 0$という条件が付いているとして考えることになります。 なぜなら「二次方程式」ということわりが入っているからです。

でも、きちんとした問題なら最初から、 $$ ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0) $$ のように、$a \neq 0$という条件がしっかり明記されているはずですけれどね。

リンクのテスト

https://story.hyuki.net/20160705212220/

画像のテスト

Twitterのテスト

コードブロックのテスト

10.times do |f|
  puts "Hello!"
end

動画のテスト

https://youtu.be/k4_ZGeyBoow

長い文章のテスト

僕「合成関数の微分というのは、要するに、 $$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$ ということなんだから、微小な変化をとって極限を求めればいいよね。 微小な変化のところは分数として扱えばいいんだ」

ミルカ「それで?」

僕「たとえば、$t$$\Delta t$だけ変化したとき、 $x$$\Delta x$変化し、$y$$\Delta y$だけ変化したとする。 そのとき、 $$ \frac{\Delta y}{\Delta t} $$ の極限が求めるものだから、証明は終わりになるんじゃないの?」

ミルカ「具体的には?」

僕「具体的には……そうだね。うん。 極限を取る前は、微小な変化は、ただの分数として扱えるんだから、$\Delta x$をあいだに噛ませてやればいい。 そうすれば、この等式が成り立つよね」

$$ \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

テトラ「あ、これは普通の分数の掛け算なのですね」

僕「うん、そうだよ。$\Delta t, \Delta x, \Delta y$は全部ただの数だから。 それで、いま$\Delta t \to 0$という極限をとると、 微分可能性が仮定されているから、 $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} \to \frac{dy}{dx}, \qquad \frac{\Delta x}{\Delta t} \to \frac{dx}{dt} $$ が成り立つよね。だから、 $$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$ が成り立つ……で証明終わり。ライプニッツの表記の優れたところだよね。すごく自然だ。 で、どこがおもしろいの?」

ミルカ「高木貞治の『解析概論』では、それが《粗雑な証明》と表現されていた」

僕「へえ……なぜだろう」

ミルカ「君の書いたこの式にミスがある」

$$ \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

僕「え、どこが?」

ミルカ「《ゼロ割り》の危険性がある。分数を考えるときの最重要ポイントを忘れてはいけない」

僕「うっ……でも、それはおかしいよ。だって、$\Delta t \to 0$の極限は取るけれど、$0$にするわけじゃないから」

ミルカ「違う、そこじゃない。$\Delta t$というのは$t$の微小な変化だろう?」

僕「そうだよ。$0$じゃない」

ミルカ「$t$が微小な変化をするとき、$x$が変化する保証はどこにあるんだろうか」

僕「……?」

ミルカ「$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$\frac{\Delta x}{\Delta t}$を個別に考えているときは問題ない。 《$x$を動かして$y$の変化を見る》のも《$t$を動かして$x$の変化を見る》のもいい。 $\Delta x \neq 0$だし$\Delta t \neq 0$で考えられる。 ここで、$\Delta t, \Delta x, \Delta y$という記号にだまされてはいけない」

僕「あ」

ミルカ「ここで、$t$を動かして$y$の変化を考えようというとき、 $t$を動かしたときに$x$の変化が$0$でない保証はない……だろう?」

僕「そうか……そのときは、$\Delta t \neq 0$だとしても$\Delta x = 0$になることはありうるのか」

ミルカ「泥臭いけれど、ゼロ割りを避けて証明すればいい。$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$f'(x)$の近似と見なし、 そのずれを$u$としよう。つまり、 $$ u = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} - f'(x) $$ すなわち、 $$ \Delta y = f'(x)\Delta x + u\Delta x $$ となる。同様に、 $$ v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} - g'(t) $$ を考えて、 $$ \Delta x = g'(t)\Delta t + v\Delta t $$ とおける。あとは、 $$ \begin{cases} \Delta y &= f'(x)\Delta x + u\Delta x \\ \Delta x &= g'(t)\Delta t + v\Delta t \\ \end{cases} $$ から$\Delta x$を消去すれば、 $$ \Delta y = f'(x)\cdot g'(t)\Delta t + (ug'(t) + vf'(x) + uv)\Delta t $$ を得る。ここまで来れば、$\Delta t \to 0$のときに、 $$ \frac{\Delta y}{\Delta t} \to f'(x)\cdot g'(t) $$ であることは、容易にわかる。すなわち、 $$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$ が得られた」

「数学ガールの秘密ノート」第140回 曲がり曲がる(後編)より


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