2018-03-04    問題    集合    要素    論理    または  

 要素であるか、または要素ではない

問題

$A$は集合である。

$1$$A$の要素である」を命題$P$とする。

$1$$A$の要素ではない」を命題$Q$とする。

このとき「$P$または$Q$」の真偽を答えよ。

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解答

正解は「(1)真」です。

$A$は集合なので「$1$$A$の要素である」か「$1$$A$の要素ではない」かの、どちらか一方は必ず真になります。したがって「$P$または$Q$」は真です。このことは$A$がどんな集合であるかには依存しません。

別の言い方をするなら「$P$$Q$のどちらも成り立たない」あるいは「$P$$Q$の両方が成り立つ」としたら、$A$は集合とはいえません。

$A$が数の集合なのか、点の集合なのか、文字の集合なのかは「$P$または$Q$」の真偽とは無関係です。$A$が集合であるなら「$P$または$Q$」はどんな集合$A$に対しても真になります。ちなみに「$P$かつ$Q$」は偽になります。

それはそれとして、数学の議論で普遍集合(いま議論している話の中で対象としているものすべてを集めた集合)を設定しておく気持ちもわかります。ある整数$n$が、ある数の集合$A$の要素かどうかを考えているとき、「カエルは$A$の要素だろうか」と気がそれずに済みます(どんなカエルも$A$には属さないですが)。

みなさんの解答


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