2018-02-26    問題    三角関数    論理    任意    絶対値  

 $|\sin x| < 1+a$

問題

次の命題は真か偽か。

命題:任意の正の実数$a$と任意の実数$x$に対して、 $$ |\sin x| < 1+a $$ である。

解答表示

解答

真です。

証明

任意の正の実数$a$に対して、$0 < a$ です。両辺に$1$を加えると、$1 < 1 + a$です。

任意の実数$x$に対して、$|\sin x| \leqq 1$ですから、 $$ |\sin x| \leqq 1 < 1+a $$ がいえて、 $$ |\sin x| < 1+a $$ が成り立ちます。

(証明終わり)

参考

「任意の正の実数$a$と任意の実数$x$に対して $|\sin x| < 1+a$である」は真ですが、「任意の実数$x$に対して $|\sin x| < 1$ である」は偽です。$x = \pi/2$が反例です。

なお「任意の実数$x$に対して$|\sin x| < 1$である」は、真か偽かどちらかです(この場合は「偽」)。「真であるとも偽であるともいえない」や「$x$の値によって決まる」という答えにはなりません。

$|\sin x| < 1$である」の場合には、$x$の値によって真のときも偽のときもあります。それは$x$という自由な変数があるからです。「$|\sin x| < 1$である」と「任意の実数$x$に対して$|\sin x| < 1$である」との違いに注意してください。

$P(x)$と、$\forall x [P(x)]$ とは違いますよ、という話です。$P(x)$$x$に関する述語($x$に関する条件)で、$\forall x[P(x)]$は命題(文)などと呼ばれています。$P(x)$を既知としたとき、$P(x)$$x$が具体的に与えられないと通常は真偽が決まりませんが、$\forall x [P(x)]$は通常は真偽が決まります。

  • $|\sin x| < 1$は、$x$に関する述語(条件)であり、自由な変数$x$の値を決めないと真偽は決まりません。
  • $\forall x[|\sin x| < 1]$は、命題(文)であり、すべての$x$について$|\sin x| < 1$が真のときに真になります。

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