2018-02-24    問題    証明    論理    任意    反例  

 反例と証明

問題

「条件$P(n)$は任意の整数$n$で成り立つか」との問いに対し、ふと思いついた整数$314$で試しに$P(314)$を計算してみたところ偽だとわかった。そこで「$P(314)$を計算したら(具体的計算)のように偽である。よって$P(n)$は任意の整数で成り立つとはいえない」と解答した。○か×か。

解答表示

解答

○です。

解説

「条件$P(n)$は任意の整数$n$で成り立つか」という問いに対して、もしも$P(n)$を偽とする$n$が一つでも存在したら「条件$P(n)$は任意の整数$n$で成り立つ」とはいえません。偶然$n = 314$を見つけようが、深い理論に基づいて見つけようが、ナーマギリ女神に教えてもらおうがかまいません。

「条件$P(n)$は任意の整数$n$で成り立つ」という主張に対して、$P(n)$を偽とする具体的な$n$のことを反例といいます。反例が見つかったなら、「任意の整数nで成り立つとはいえない」と主張するのに十分です。これは数学の厳しさであり自由さであり魅力です。高校入試でも大学入試でも○です。


もちろん、教育的な話として「見つけた$314$にはどんな意味があるのか」とか「$314$以外にはないのか」と重ねて問うことは自由です。しかし「任意の整数$n$で成り立つか」の問いに「$n=314$という反例があるので成り立たない」との答えに文句を付ける筋合いはいっさいありません。問答無用。完全に○です。百パーセントの正解です。


反例を提示することはきちんとした証明なのです。

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