2017-07-05    冪乗    ゼロ    二項定理    コンピュータの数学    未定義  

$0$の$0$乗

$0^0$は未定義でしょうか。それとも$0^0 = 1$でしょうか。

二項定理を使う分野では$0^0 = 1$と定義しているようです。以下にその理由を書きます。

二項定理は、 $$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom n k x^{k}y^{n-k} $$ と書けます。ここで$n = 0$のとき、 $$ (x+y)^0 = \binom 0 0 x^0 y^0 $$ になり、すなわち、 $$ (x + y)^0 = 1 x^0 y^0 $$ となります。

もしも「$0^0$は未定義」と決めてしまうと、 この等式は$x+y = 0$または$x = 0$または$y = 0$のときに未定義になってしまいます。

一方「$0^0 = 1$と定義する」と決めると、この等式は任意の$x,y$で成り立つことになります。

こういう理由から、二項定理を使う分野では$0^0 = 1$と定義しているようです。

参考

『コンピュータの数学』p.159

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