2017-07-05    冪乗    ゼロ    二項定理    コンピュータの数学    未定義  

$0$の$0$乗

\(0^0\)は未定義でしょうか。それとも\(0^0 = 1\)でしょうか。

二項定理を使う分野では\(0^0 = 1\)と定義しているようです。以下にその理由を書きます。

二項定理は、 \[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom n k x^{k}y^{n-k} \] と書けます。ここで\(n = 0\)のとき、 \[ (x+y)^0 = \binom 0 0 x^0 y^0 \] になり、すなわち、 \[ (x + y)^0 = 1 x^0 y^0 \] となります。

もしも「\(0^0\)は未定義」と決めてしまうと、 この等式は\(x+y = 0\)または\(x = 0\)または\(y = 0\)のときに未定義になってしまいます。

一方「\(0^0 = 1\)と定義する」と決めると、この等式は任意の\(x,y\)で成り立つことになります。

こういう理由から、二項定理を使う分野では\(0^0 = 1\)と定義しているようです。

参考

『コンピュータの数学』p.159

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