2016-07-10 イデアル 環 可換環 整数環 倍数 整数
\(R\)は可換環とします。
\(R\)の部分集合\(I\)は、\(R\)の加法に関して群であるとします。
\(R\)の任意の要素\(r\)と、\(I\)の任意の要素\(a\)について、\(ra\)が\(I\)の要素となるとき、\(I\)をイデアルと呼びます。
\[r \in R, a \in I \Longrightarrow ra \in I\]
\(R\)として整数環\(\mathbb Z\)を考えたとき、イデアル\(I\)にはどんなものがあるか、例を一つ作ってみましょう。
たとえば、\(3\)が\(I\)の要素であるとしたとき何が起きるでしょうか。\(I\)は\(\mathbb Z\)の加法に関して群である必要がありますから、\(I\)は\(3\)の倍数をすべて要素に持つことになります。
では仮に、\(I\)を「\(3\)の倍数全体の集合」に等しいとしてみると、\(I\)はイデアルになるでしょうか。まず、\(3\)の倍数全体の集合は\(\mathbb Z\)の加法に関して群になっていますから、その点については大丈夫。では、\(ra\)が\(I\)の要素になるという点はどうでしょう。
それも大丈夫です。なぜなら、\(\mathbb Z\)の任意の要素（つまり整数）と、\(I\)の任意の要素\(a\)（つまり\(3\)の倍数）を掛けた\(ra\)は\(I\)の要素（つまり\(3\)の倍数）になっているからです。
したがって、\(I\)を\(3\)の倍数全体の集合としたとき、\(I\)は確かに整数環\(\mathbb Z\)のイデアルとなっています。
2016-07-10 イデアル 環 可換環 整数環 倍数 整数
結城浩の数学ノート