$ \newcommand{\LEQ}{\leqq} \newcommand{\SET}[1]{\{\,#1\,\}} \newcommand{\SETM}{\,|\,} \newcommand{\GEQ}{\geqq} $

 2016-06-06    問題    逆関数    関数    必要十分条件  

 逆関数を持つ条件……

問題

$a,b$$a < b$である実数とします。

実数の集合$\SET{x \SETM a < x < b}$を定義域とする関数、 $$ f(x) = x^2 $$ を考えます。この関数$f(x)$が逆関数を持つための、$a,b$の必要十分条件を求めてください。

解答表示

解答

$$ab \GEQ 0$$

解説

他にも多くの書き方があります。たとえば、 $$ a \GEQ 0 \lor b \LEQ 0 $$ など。$a$$b$が同符号である(片方が$0$でもよい)ことも。

ツイートで教えていただいた解答の中には、 $$ 0 \not\in \SET{x \SETM a < x < b} $$ というものもありました。

要するに、$y = f(x)$のグラフが単調増加か単調減少すればいいのです。

ツイート


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