2016-06-06 問題逆関数関数必要十分条件

逆関数を持つ条件……

問題

$a,b$ を $a < b$ である実数とします。

実数の集合 $\SET{x \SETM a < x < b}$ を定義域とする関数、 $f(x) = x^2$ を考えます。この関数 $f(x)$ が逆関数を持つための、 $a,b$ の必要十分条件を求めてください。

解答表示

$ab \GEQ 0$

他にも多くの書き方があります。たとえば、 $a \GEQ 0 \lor b \LEQ 0$ など。 $a$ と $b$ が同符号である（片方が $0$ でもよい）ことも。

ツイートで教えていただいた解答の中には、 $0 \not\in \SET{x \SETM a < x < b}$ というものもありました。

要するに、 $y = f(x)$ のグラフが単調増加か単調減少すればいいのです。

2016-06-06 問題逆関数関数必要十分条件