群$G$の元の位数が……

解答

そのような群\(G\)は存在しない。

解説

群\(G\)の元\(a\)の位数とは、\(a^n = e\)を満たす最小の正整数\(n\)のことです（\(e\)は単位元）。

群には必ず単位元\(e\)があり、単位元の位数は\(1\)です（なぜなら\(e^1 = e\)だから）。

したがって、任意の元の位数が\(2\)に等しい群は存在しません。

ちなみに、単位元を除いた任意の元の位数が\(2\)に等しい群は存在します。その群は必ずアーベル群になります。なぜなら、任意の元\(a,b\)について\((ab)(ab)=e\)つまり\(abab=e\)ですから、右から\(ba\)を掛けて\(ab=ba\)を得ます。

なお、「群の位数」と「群の元の位数」は違う概念ですので注意してください。

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アンケートでは262票のうち44%が誤った「存在する」を選んでしまったようです。

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