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 2016-05-25    問題    群    位数    すべて  

 群$G$の元の位数が……

問題

ある群$G$の、任意の元の位数が$2$に等しいという。以下の選択肢で正しいものを選べ。

解答表示

解答

そのような群$G$は存在しない。

解説

$G$の元$a$の位数とは、$a^n = e$を満たす最小の正整数$n$のことです($e$は単位元)。

群には必ず単位元$e$があり、単位元の位数は$1$です(なぜなら$e^1 = e$だから)。

したがって、任意の元の位数が$2$に等しい群は存在しません。

ちなみに、単位元を除いた任意の元の位数が$2$に等しい群は存在します。その群は必ずアーベル群になります。なぜなら、任意の元$a,b$について$(ab)(ab)=e$つまり$abab=e$ですから、右から$ba$を掛けて$ab=ba$を得ます。

なお、「群の位数」と「群の元の位数」は違う概念ですので注意してください。

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アンケートでは262票のうち44%が誤った「存在する」を選んでしまったようです。

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