$ \newcommand{\LEQ}{\leqq} $

 2016-05-25    問題    整数    総和  

 条件$P(n)$を満たしているすべての整数……

問題

条件$P(n)$を満たしているすべての整数$n$に対する$f(n)$の総和を、 $$ \sum_{P(n)} f(n) $$ で表すことにします。たとえば、 $$ \begin{align*} \sum_{1 \LEQ n \LEQ 10}\!\!2n &= 2\cdot1 + 2\cdot2 + \cdots + 2\cdot9 + 2\cdot10 \\ & = 110 \end{align*} $$ となります。

さて、《整数$n$を割り切る$2$以上の整数は$n$のみである》という条件を$Q(n)$としたとき、 $$ \sum_{1 \LEQ n \LEQ 10 \land Q(n)}\!\!\!\!\!\!1 $$ の値を求めてください。

解答表示

解答

$4$です。

解説

$1 \LEQ n \LEQ 10 \land Q(n)$という整数$n$の条件は、整数$n$$10$以下の素数のとき真になります。

そのとき$1$の総和を取るということは「$10$以下の素数の個数」を求めていることになります。

$10$以下の素数は$2,3,5,7$$4$個ですから、 $$ \sum_{1 \LEQ n \LEQ 10 \land Q(n)}\!\!\!\!\!\!1 = 4 $$ となります。

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