$ \newcommand{\LEQ}{\leqq} $

 2016-05-25    問題    整数    総和  

 条件$P(n)$を満たしているすべての整数……

問題

条件\(P(n)\)を満たしているすべての整数\(n\)に対する\(f(n)\)の総和を、 \[ \sum_{P(n)} f(n) \] で表すことにします。たとえば、 \[ \begin{align*} \sum_{1 \LEQ n \LEQ 10}\!\!2n &= 2\cdot1 + 2\cdot2 + \cdots + 2\cdot9 + 2\cdot10 \\ & = 110 \end{align*} \] となります。

さて、《整数\(n\)を割り切る\(2\)以上の整数は\(n\)のみである》という条件を\(Q(n)\)としたとき、 \[ \sum_{1 \LEQ n \LEQ 10 \land Q(n)}\!\!\!\!\!\!1 \] の値を求めてください。

解答表示

解答

\(4\)です。

解説

\(1 \LEQ n \LEQ 10 \land Q(n)\)という整数\(n\)の条件は、整数\(n\)が\(10\)以下の素数のとき真になります。

そのとき\(1\)の総和を取るということは「\(10\)以下の素数の個数」を求めていることになります。

\(10\)以下の素数は\(2,3,5,7\)の\(4\)個ですから、 \[ \sum_{1 \LEQ n \LEQ 10 \land Q(n)}\!\!\!\!\!\!1 = 4 \] となります。

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