$a$を$b$乗した値を……

問題

$a,b,c$を正の実数として、「$a$を$b$乗した値は$c$に等しい」という$a,b,c$の関係を$a \circ b=c$と書くことにします。たとえば、$2 \circ 3 = 8$です。

もしも、 \[ a \circ x = b,\quad c \circ y = a,\quad c \circ z = b \] ならば、$x,y,z$のあいだには、どんな関係があるでしょうか。

解答表示

\[ xy = z \]

$a \circ b=c$は「$a$の$b$乗が$c$」のこと。つまり、$a^b = c$です。

\[ a \circ x=b,\quad c \circ y=a,\quad c \circ z=b \] は、 \[ a^x=b,\quad c^y=a,\quad c^z=b \] のことです。

最初の二つから$(c^y)^x=b$がいえて、指数法則より$c^{xy}=b$が成り立ちます。

つまり、$c^{xy}=c^z$ですから、両辺の対数をとって$xy=z$となります。

別解

最初から対数で考えて、 \[ x \log a = \log b,\quad y \log c = \log a,\quad z \log c = \log b \] から、 \[ xy = \frac{\log b}{\log c} = z \] がいえます。