任意の実数$x,y$に対して$f(x+y)$が……

解答

いえます。

解説

実数\(t\)に対して\(x=y=\frac{t}{2}\)とおくと、問題で与えられた条件から、 \[ f(t/2 + t/2)=f(t/2)f(t/2) \] がいえます。すなわち、 \[ f(t)=\left(f(t/2)\right)^2 \GEQ 0 \] がいえます。

ところで、\(y=f(x)\)と\(y=x\)のグラフは共有点を持たないので、 \[ f(0) \neq 0 \] です。

ところで、実数\(t\)に対して\(x = t, y = -t\)とおくと、 \[ f(0) = f(t+(-t)) = f(t)f(-t) \] です。\(f(0) \neq 0\)と合わせて考えると、実数\(t\)に対して、 \[ f(t)f(-t) \neq 0 \] がいえ、 \[ f(t) \neq 0 \] がいえました。

よって、 \[ f(t)>0 \] がいえます。

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アンケートで答えてもらったところ、879票で52%の方がまちがってしまいました。

参考

今回の出題は、手元にあった以下の高校生向け参考書を参考にしました。この本自体は古いものですが、新しい版にも載ってるかもしれません。

• 佐藤忠『対数関数（科学新興社モノグラフ6）』