$ \newcommand{\GEQ}{\geqq} $

 2016-05-25    問題    関数    実数    方程式    グラフ    共有点  

 任意の実数$x,y$に対して$f(x+y)$が……

問題

実数$x$に対し実数値を取る関数$f(x)$があり、任意の実数$x,y$に対して、 $$ f(x+y)=f(x)f(y) $$ を満たすものとします。

また、$y=f(x)$のグラフと$y=x$のグラフは共有点を持たないとします。

このとき「任意の実数$t$に対して$f(t) > 0$が成り立つ」といえますか。

解答表示

解答

いえます。

解説

実数$t$に対して$x=y=\frac{t}{2}$とおくと、問題で与えられた条件から、 $$ f(t/2 + t/2)=f(t/2)f(t/2) $$ がいえます。すなわち、 $$ f(t)=\left(f(t/2)\right)^2 \GEQ 0 $$ がいえます。

ところで、$y=f(x)$$y=x$のグラフは共有点を持たないので、 $$ f(0) \neq 0 $$ です。

ところで、実数$t$に対して$x = t, y = -t$とおくと、 $$ f(0) = f(t+(-t)) = f(t)f(-t) $$ です。$f(0) \neq 0$と合わせて考えると、実数$t$に対して、 $$ f(t)f(-t) \neq 0 $$ がいえ、 $$ f(t) \neq 0 $$ がいえました。

よって、 $$ f(t)>0 $$ がいえます。

ツイート

アンケートで答えてもらったところ、879票で52%の方がまちがってしまいました。

参考

今回の出題は、手元にあった以下の高校生向け参考書を参考にしました。この本自体は古いものですが、新しい版にも載ってるかもしれません。


 2016-05-25    問題    関数    実数    方程式    グラフ    共有点