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 2016-05-22    問題    集合    部分集合    要素数  

 部分集合全体の集合……

問題

集合$A$の部分集合全体の集合を$\wp(A)$とします。

また、有限集合$X$の要素数を$|X|$で表すとします。

このとき、集合$\{a,b,c\}$の部分集合の個数すなわち、 $$|\wp(\{a,b,c\})|$$ の値を求めてください。

解答表示

解答

$$|\wp(\{a,b,c\})| = 8$$

解説

$\{a,b,c\}$の部分集合の個数は、その部分集合に$a$が属するかどうか、$b$が属するかどうか、$c$が属するかどうかを考えると、全部で $$ 2 \times 2 \times 2 = 8 $$ 個あることがわかります。

具体的に列挙します。 $$ \def\No{\text{No}} \def\Yes{\text{Yes}} \begin{array}{ccc|c} a & b & c \\ \hline \No & \No & \No & \{\} \\ \Yes & \No & \No & \{a\} \\ \No & \Yes & \No & \{b\} \\ \Yes & \Yes & \No & \{a,b\} \\ \No & \No & \Yes & \{c\} \\ \Yes & \No & \Yes & \{a,c\} \\ \No & \Yes & \Yes & \{b,c\} \\ \Yes & \Yes & \Yes & \{a,b,c\} \\ \end{array} $$

$\{a,b,c\}$の部分集合全体の集合は、 $$ \wp(\{a,b,c\}) = \{\, \{\},\{a\},\{b\},\{a,b\},\{c\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\, \} $$ です。$\wp(\{a,b,c\})$$\{a,b,c\}$の冪集合(べきしゅうごう)といいます。

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