部分集合全体の集合……

解答

\[|\wp(\{a,b,c\})| = 8\]

解説

\(\{a,b,c\}\)の部分集合の個数は、その部分集合に\(a\)が属するかどうか、\(b\)が属するかどうか、\(c\)が属するかどうかを考えると、全部で \[ 2 \times 2 \times 2 = 8 \] 個あることがわかります。

具体的に列挙します。 \[ \def\No{\text{No}} \def\Yes{\text{Yes}} \begin{array}{ccc|c} a & b & c \\ \hline \No & \No & \No & \{\} \\ \Yes & \No & \No & \{a\} \\ \No & \Yes & \No & \{b\} \\ \Yes & \Yes & \No & \{a,b\} \\ \No & \No & \Yes & \{c\} \\ \Yes & \No & \Yes & \{a,c\} \\ \No & \Yes & \Yes & \{b,c\} \\ \Yes & \Yes & \Yes & \{a,b,c\} \\ \end{array} \]

\(\{a,b,c\}\)の部分集合全体の集合は、 \[ \wp(\{a,b,c\}) = \{\, \{\},\{a\},\{b\},\{a,b\},\{c\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\, \} \] です。\(\wp(\{a,b,c\})\)を\(\{a,b,c\}\)の冪集合（べきしゅうごう）といいます。

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