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 2016-05-20    問題    群論    部分群    可換群    有限群  

 $S$の部分群は全部で……

問題

集合$S=\{0,1,2,...,16\}$上に、 $$ x\circ y=(x+y)\bmod17 $$ で演算$\circ$を定義します。 すると、$S$$\circ$について群になります。

$S$の部分群は全部で何個ありますか。

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解答

単位群$\{0\}$$S$自身の$2$個です。

解説

ラグランジュの定理より、有限群の部分群の位数(要素数)は、もとの群の位数の約数です。群$S$の位数は素数$17$で、その約数は$1$$17$のみ。

部分群は単位元$0$を持つので位数が$1$の部分群は$\{0\}$のみ。位数が$17$の部分群は$S$自身のみ。

ラグランジュの定理は、群$G$とその部分群$H$があるとき、$H$の位数は$G$の位数の約数になるというもの。証明には、部分群$H$による$G$の類別を用います。関係$a \sim b$$a \in bH$で定義すると$\sim$は同値関係になりますので、同値類$G/\sim$を考えて、各類の要素数がすべて等しいことを示せば証明完了。

なお、ラグランジュの定理は『数学ガール/ガロア理論』の第9章にも証明付きで出てきます。テトラちゃんの素朴な疑問に、ミルカさんは$|G|/|H|=|G/H|$というわかりやすい式を書いて答え、ユーリはそこからわかりやすい図を描いていましたね。

なお、ラグランジュの定理を知らなくても、$\{0,1,2,...,16\}$$0$以外の元$a$について、$a, a\circ a, a\circ a\circ a, \ldots$と根気よく計算すればわかりますね。$0$以外のどの元も$S$を生成してしまうからです。テトラちゃんならそれで解きそうです。

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$x \circ y$の演算表

$a \circ a \circ \cdots \circ a$の演算表

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