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 2016-05-16    問題    論理    実数    かつ    または  

 $x$と$y$はどちらも実数であるとします……

問題

$x$$y$はどちらも実数であるとします。

$x=0$かつ$y=0$」という条件と同値なものを以下から選んでください。

解答表示

解答

$x^2 + y^2 = 0$です。

解説

$x = 0$かつ$y=0$」が成り立っていれば、四つの選択肢はすべて成り立ちます。

ですから、逆がどうなるかがポイントとなります。

$x+y=0$であっても、$x=0$かつ$y=0$とは限りません。たとえば$x = 123$$y = -123$だとしても$x + y = 0$になるからです。

$xy = 0$であっても、$x=0$かつ$y=0$とは限りません。たとえば$x = 123$$y = 0$だとしても$xy = 0$になるからです。

$x^2 = y^2$であっても、$x=0$かつ$y=0$とは限りません。たとえば$x = 123$$y = 123$だとしても$x^2 = y^2$になるからです。

$x^2 + y^2 = 0$であったなら、$x=0$かつ$y=0$といえます。 $x,y$は実数という仮定がありますから、 $x^2 \geqq 0$$y^2 \geqq 0$が成り立ちます。 等号が成立するのは$0$に等しいときだけです。

視覚的に納得することもできます。$x^2 + y^2 = 0$は「原点中心で半径が$0$の円の方程式」といえますが、 これを満たす$(x,y)$は原点$(0,0)$だけです。

$x^2 + y^2 = 0$は、$x = 0$かつ$y = 0$と同値です。

ちなみに、 $xy = 0$は、$x=0$または$y=0$と同義になります。


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