2016-05-16 問題論理実数かつまたは

$x$と$y$はどちらも実数であるとします……

問題

$x$と$y$はどちらも実数であるとします。

「$x=0$かつ$y=0$」という条件と同値なものを以下から選んでください。

解答表示

$x^2 + y^2 = 0$です。

「$x = 0$かつ$y=0$」が成り立っていれば、四つの選択肢はすべて成り立ちます。

ですから、逆がどうなるかがポイントとなります。

$x+y=0$であっても、$x=0$かつ$y=0$とは限りません。たとえば$x = 123$で$y = -123$だとしても$x + y = 0$になるからです。

$xy = 0$であっても、$x=0$かつ$y=0$とは限りません。たとえば$x = 123$で$y = 0$だとしても$xy = 0$になるからです。

$x^2 = y^2$であっても、$x=0$かつ$y=0$とは限りません。たとえば$x = 123$で$y = 123$だとしても$x^2 = y^2$になるからです。

$x^2 + y^2 = 0$であったなら、$x=0$かつ$y=0$といえます。 $x,y$は実数という仮定がありますから、 $x^2 \geqq 0$と$y^2 \geqq 0$が成り立ちます。等号が成立するのは$0$に等しいときだけです。

視覚的に納得することもできます。$x^2 + y^2 = 0$は「原点中心で半径が$0$の円の方程式」といえますが、これを満たす$(x,y)$は原点$(0,0)$だけです。

$x^2 + y^2 = 0$は、$x = 0$かつ$y = 0$と同値です。

ちなみに、 $xy = 0$は、$x=0$または$y=0$と同義になります。

2016-05-16 問題論理実数かつまたは