2020-05-05    可換環    定義    線型写像  

可換環上の線型写像

\(A\)は可換環とする。

\(X,Y\)は\(A\)加群とする。

写像\(f: X \to Y\)に対して、 \[ \begin{array}{rl} f(a_1x_1 + a_2x_2) &= a_1f(x_1) + a_2f(x_2) \\ \end{array} \] が成り立つとき、\(f\)を\(A\)線型写像という。

ここで、\(a_1,a_2\)は\(A\)の任意の元、\(x_1,x_2\)は\(X\)の任意の元である。

補足

• 「\(A\)上の線型写像」は「可換環\(A\)上の線型写像」や「\(A\)線型写像」ともいう。
• 特に\(A\)が体のとき、\(X,Y\)は\(A\)上のベクトル空間となり、写像\(f\)は「体\(A\)上の線型写像」となる。このときも「\(A\)線型写像」という。

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