クラインの四元群

解答

$G = \{ e, a, b, c \}$とする（$e$は単位元で$e,a,b,c$は互いに異なる）。$a$が生成する$G$の部分群$\langle a \rangle$の位数は、ラグランジュの定理より$1,2,4$のいずれかになる。$G$が巡回群ではなく、$a \neq e$であることから、群$\langle a \rangle$の位数は$2$となり、元$a$の位数は$2$である。よって、$a^2 = e$である。同様に$b^2 = e, c^2 = e$である。

$a^2 = e, b^2 = e, c^2 = e$だから、$a^{-1} = a, b^{-1} = b, c^{-1} = c$となる。$G$の任意の元$x,y$について、$xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx$だから、$G$は可換群である。

ここで$ab = c$を示す。もし$ab$が$e$に等しいとすると、$b$は$a$の逆元ということになるが、$a = a^{-1}$だから$a = b$になってしまう。よって、$ab \neq e$である。またもし$ab$が$a$に等しいとすると、$b = e$になってしまうから$ab \neq a$である。同様に$ab \neq b$である。よって、$ab = c$がいえる。

$aab = eb = b, bab = abb = a$などから、群$G$の演算表は以下の通り。

$$\begin{array}{c|cccc} & e & a & b & ab\\ \hline e & e & a & b & ab\\ a & a & e & ab& b \\ b & b & ab& e & a \\ ab& ab& b & a & e \\ \end{array}$$

なお、この群は「クラインの四元群」また「二面体群$D_2$」と呼ばれ、巡回群ではない群のうち位数が最小の群と同型である。また位数が$2$である$2$個の巡回群の直積と同型である。

別表現

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参考

• 『群論への30講』（志賀浩二）
• 『代数系入門』（松坂和夫）